מתמטריק
הבעת קטעים באמצעות R ושתי זוויות (קיץ 2022 מועד ב, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 31
קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 5 · סעיף א

שיעור 30 – הבעת קטעים באמצעות R ושתי זוויות (קיץ 2022 מועד ב, סעיף א)

פרק 5 – מה שואלים ב־571: סעיפי א מבגרויות 571
1נוסח השאלה
2סעיף א (1) – הקטע AO
3סעיף א (2) – הקטע AB
📄 נוסח השאלה
מנקודה A שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו R העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D, וישר אחר שחותך את המעגל בנקודה B, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢AOD = x , ∢AOB = z.
א. הביעו באמצעות x, ‏z ו־R, אם יש צורך, את:
(1) אורך הקטע AO.
(2) אורך הקטע AB.
סעיף א (1) – הקטע AO
AD משיק ב־D, ולכן OD ⊥ AD: המשולש ODA ישר זווית ב־D.
📐 רדיוס ומשיק
cos x = ODAO
📐 cos במשולש ישר זווית
נציב OD = R (רדיוס):
cos x = RAO
AO = Rcos x
✅ פתרון סופי: AO = Rcos x
📐 רדיוס ומשיק
הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
📐 cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף א (2) – הקטע AB
במשולש AOB: ‏OB = R, ‏AO = Rcos x, והזווית ביניהן z:
AB2 = OB2 + AO2 − 2 · OB · AO · cos z
📐 משפט הקוסינוסים
נציב OB = R ו־AO = Rcos x:
AB2 = R2 + (Rcos x)2 − 2 · R · Rcos x · cos z
AB2 = R2 + R2cos2x − 2 · R · Rcos x · cos z
AB2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C
סעיף א (2) – הקטע AB · המשך
AB2 = R2(1 + 1cos2x − 2cos zcos x)
AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
✅ פתרון סופי: AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x

📌 סיכום התשובות

סעיף א (1)
AO = Rcos x
סעיף א (2)
AB = R√1 + 1cos2x − 2cos zcos x
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא